Question

在數列{a_n}中，a₁＝1，{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n＝a_n＋1.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若存在n∈N^*，使得λ≤，求實數λ的最大值．

Answer 1

(1) a_n＝ (2) 3

(1)由題意，當n≥2時，2S_n－1＝a_n,2S_n＝a_n＋1，
兩式相減得2a_n＝a_n＋1－a_n，
即a_n＋1＝3a_n，又a₂＝2a₁＝2，
可見數列{a_n}從第二項起成公比為3的等比數列．
所以當n≥2時，a_n＝a₂·3^n－2＝2·3^n－2，
故a_n＝
(2)令b_n＝，當n≥2時，b_n＝
當n≥2時，b_n＋1－b_n＝－＝＝
<0.
所以當n≥2時，b_n＋1<b_n
所以，數列{b_n}從第二項起的各項成單調遞減數列
而b₂＝＝3，b₁＝＝2，
由題意，λ≤_max＝max{2,3}＝3.
所求實數λ的最大值是3.