Question

已知各項均為正數的數列滿足, 且,其中.
(1) 求數列的通項公式；
(2) 設數列滿足,是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。
(3) 令,記數列的前項和為,其中,證明：。

Answer 1

（1）  （2）存在且， 

試題分析：
（1）利用十字相乘法分解，得到關于的遞推式，證得數學為等比數列且可以知道公比，則把公比帶入式子就可以求出首項，進而得到的通項公式.
（2）由第一問可得的通項公式帶入可的通項公式，結合成等比數列，滿足等比中項，得到關于m,n的等式，借助m,n都為正整數，利用等式兩邊的范圍求出n,m的范圍等到m,n的值.
（3）由（1）得，帶入得到，由于要得到錢n項和，故考慮把進行分離得到 ，進而利用分組求和和裂項求和求的，觀察的單調性，可得到與都關于n單調遞減，進而得到關于n是單調遞增的，則有，再根據的非負性，即可得到，進而證明原式.
試題解析：
(1) 因為,即  1分
又,所以有,即所以數列是公比為的等比數列. 2分
由得,解得。  3分
從而，數列的通項公式為。  4分
(2)=，若成等比數列，則，  5分
即．由，可得，  6分
所以，解得：。  7分
又，且，所以，此時．   
故當且僅當，.使得成等比數列。  8分
(3)
   10分
∴
   12分
易知遞減，∴0＜  13分
∴，即  14分