Question

某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖．（ 例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為

1

10

，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為

1

15

）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記ξ路線A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵車次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN，根據(jù)各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁=1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

），同理得路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂=
1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

），路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃=1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

），然后比較即可；
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0，1，2，3，然后利用互斥事件與對立事件的公式分別求出相應的概率，最后利用數(shù)學期望公式解之即可．

解答：解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN．
因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）=1-P（

.

AC

）•P（

.

CD

）•P （

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-

9

10

•

14

15

•

5

6

=

3

10

；
同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為
1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

239

800

（小于

3

10

）；
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為
1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

91

300

（大于

3

10

）
顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小．
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

561

800

，
P（ξ=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•FB）
=

1

10

×

17

20

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（ξ=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC•

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（ξ=3）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴Eξ=0×

561

800

+1×

637

2400

+2×

77

2400

+3×

3

2400

=

1

3

．
答：路線A→C→FB中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學期望為

1

3

．

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及對立事件和離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．