Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A（2，0），一條漸近線為y=

1

2

x，過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意，a=2，一條漸近線為y=

1

2

x，可得b的值，從而可得雙曲線的方程；設出直線方程代入雙曲線方程，利用根的判別式，即可求k的取值范圍；
（II）用坐標表示向量，利用向量的數量積為0，建立方程，即可得到結論．

解答：解：（I）由題意，a=2，

b

a

=

1

2

，∴b=1
∴雙曲線的方程為

x2

4

-y2=1
設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線方程，可得（4k²-1）x²+16kx+20=0
∵過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q
∴4k²-1≠0且△=256k²-80（4k²-1）＞0，即k2≠

1

4

且k2＜

5

4

解得-

5

2

＜k＜

5

2

且k≠±

1

2

；
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-16k

4k2-1

，
∵

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

AB

=（-2，2），

OP

+

OQ

與

AB

垂直
∴-2（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0
∴（x₁+x₂）（k-1）+4=0
∴

-16k(k-1)

4k2-1

+4=0
∴k=

1

4

∴存在常數k=

1

4

，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．