Question

【題目】已知拋物線，過點的動直線與相交于兩點，拋物線在點和點處的切線相交于點.

（Ⅰ）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（Ⅱ）求證：點在直線上；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據標準方程可以直接寫出拋物線的焦點坐標和準線方程，注意焦點在軸上.（Ⅱ）又為兩條切線的交點，故可以求出兩條切線方程（它們與切點的橫坐標有關），聯立它們可以得到的坐標.最后利用動直線過定點可以得到兩個切點橫坐標的關系，從而得到的縱坐標為定值.

解析：（Ⅰ）解：焦點坐標為，準線方程為.

（Ⅱ）證明：由題意，知直線的斜率存在，故設的方程為 ，由方程組，得.由題意得 .設，則.又，所以拋物線在點 處的切線的斜率為 ，拋物線在點處的切線方程為，化簡得 ， ①.同理，拋物線在點處的切線方程為 ②，聯立方程①②，得即，因為，所以，代入①，得，所以點，即

所以點在直線上.