Question

【題目】在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點.試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集體的某一圓周上；（2）此集合的每個圓周上.有且只有一個整點.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

假設(shè)同心圓圓心為P（x，y）任兩點整點A（a，b）和B（c，d），其中a = c，b = d不同時成立.

.

，

.

∵，a = c，b = d不同時成立，

∴要使，只需取x為任意無理數(shù)，y取任意分母不為2的非整有理數(shù)即可（或x，y各取形如的最簡非同類根式的無理數(shù)，其中）.

如取（或），則任意兩個不同整點到的距離都不相等.

把所有整點到P點的距離從小到大排成一列，以為圓心，以為半徑作的同心圓集合即為所求.

（注：P點坐標(biāo)還可其他超越數(shù)，如等等.）

證明三 設(shè)坐標(biāo)平面上任兩個不同整點A（a，b）和B（c，d），分三類情況討論.

（1），中點，AB垂直平分線方程為；

（2），中點，AB垂直平分線方程為；

（3），中點，AB垂直平分線方程為.

顯然，只有在上述三類直線上的點才有可能到平面上某兩整點的距離相等.若取，則必然不在上述三類直線上，則到任意兩個不同整點的距離都不相等.