Question

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數，

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集為空集，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）[0，4]；（2）[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1].

【解析】試題分析：（1）求出當a=3時，f（x）的分段函數式，原不等式即化為一次不等式組，分別解得它們，再求并集即可；
（2）利用絕對值三角不等式可得f（x）=|x-a|+|x-1|≥|（x-a）+（1-x）|=|1-a|，依題意可得|1-a|≥2，解之即可．

試題解析：

（1）當a=3時，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，

即有f（x）=，

不等式f（x）≤4即為或或，

即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，

則為0≤x≤4，

則解集為[0，4]；

（2）依題意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，

∴2≤f（x）min；

由絕對值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，

即f（x）min=|1﹣a|，

∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，

解得a≥3或a≤﹣1．

∴實數a的取值范圍是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．