Question

【題目】設函數f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖像與x軸相切于M（3，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在兩個不等正數s，t（s＜t），當x∈[s，t]時，函數f（x）=x3+ax2+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有這樣的正數s，t，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2ax+b，依題意有 ，

即 ，解得 ．

∴f（x）=x3﹣6x2+9x

（2）解：f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

由f′（x）=0，得x=1或x=3．

當x∈（﹣∞，1），（3，+∞）時，f′（x）＞0，函數為增函數，

當x∈（1，3）時，f′（x）＜0，函數為減函數，

∴f（x）=x3﹣6x2+9x的極大值為4，極小值為0．

①若極值點3在[s，t]上，

∵函數的值域也是[s，t]，

∴0∈[s，t]，這與s＞0矛盾；

②若極值點1在[s，t]上，

∵函數的值域也是[s，t]，

∴4∈[s，t]，這與0＜s≤1≤t＜3矛盾；

③若f（x）=x3﹣6x2+9x在區間[s，t]上單調遞增，

即0＜s＜t＜1或3＜s＜t，則 ，

即s，t是方程x3﹣6x2+9x=x的兩個不同正根，解得 舍去；

④若f（x）=x3﹣6x2+9x在區間[s，t]上單調遞減，

即1≤s＜t≤3，則 ，

兩式相減并除以s﹣t得：（s+t）2﹣6（s+t）﹣st+10=0*，

兩式相除并開方可得：s（s﹣3）=t（t﹣3），

∴s+t=3．代入*得st=1．

∴s，t為方程x2﹣3x+1=0的兩根，

解得： ．

綜上，存在 滿足條件

【解析】（1）由已知得f′（x）=3x2+2ax+b．依題意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x3﹣6x2+9x； （2）由函數的定義域是正數知，s＞0，故極值點x=3不在區間[s，t]上，由此利用分類討論思想能求出不存在正數s，t滿足要求．