Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣1．
（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若對任意實數x1∈[1，2]．存在實數x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，

即為4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，

由1≤x≤2，可得4m2≤ ，

由g（x）= =4（ + ）2﹣ ，

當x=2，即 = 時，g（x）取得最小值，且為1，

即有4m2≤1，解得﹣ ≤m≤ ；

（2）解：對任意實數x1∈[1，2]．

存在實數x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，

可設f（x）在[1，2]的值域為A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域為B，

可得AB．

由f（x）在[1，2]遞增，可得A=[0，3]；

當a＜0時，h（x）=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2，（1≤x≤2），

在[1，2]遞增，可得B=[﹣a，6﹣2a]，

可得﹣a≤0＜3≤6﹣2a，不成立；

當a=0時，h（x）=2x2﹣2，（1≤x≤2），

在[1，2]遞增，可得B=[0，6]，

可得0≤0＜3≤6，成立；

當0＜a≤2時，由h（x）=0，解得x= ＞1（負的舍去），

h（x）在[1， ]遞減，[ ，2]遞增，

即有h（x）的值域為[0，h（2）]，即為[0，6﹣2a]，

由0≤0＜3≤6﹣2a，解得0＜a≤ ；

當2＜a≤3時，h（x）在[1， ]遞減，[ ，2]遞增，

即有h（x）的值域為[0，h（2）]，即為[0，a]，

由0≤0＜3≤a，解得a=3；

當3＜a≤4時，h（x）在[1，2]遞減，可得B=[2a﹣6，a]，

由2a﹣6≤0＜3≤a，無解，不成立；

當4＜a≤6時，h（x）在[1， ]遞增，在[ ，2]遞減，可得B=[2a﹣6，2+ ]，

由2a﹣6≤0＜3≤2a，不成立；

當6＜a≤8時，h（x）在[1， ]遞增，在[ ，2]遞減，可得B=[a，2+ ]，

由a≤0＜3≤2a，不成立；

當a＞8時，h（x）在[1，2]遞增，可得B=[a，2a﹣6]，

AB不成立．

綜上可得，a的范圍是0≤a≤ 或a=3．

【解析】（1）由題意可得4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤ ，運用二次函數的最值的求法，可得右邊函數的最小值，解不等式可得m的范圍；（2）f（x）在[1，2]的值域為A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域為B，由題意可得AB．分別求得函數f（x）和h（x）的值域，注意討論對稱軸和零點，與區間的關系，結合單調性即可得到值域B，解不等式可得a的范圍．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．