Question

【題目】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知AB＝3米，AD＝2米.

（Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應在什么范圍內？

（Ⅱ）當DN的長為多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）（0，)∪（6，＋∞)；（2）當DN的長為2米時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米．

【解析】

試題分析：（1）設出相關量坐標，確定該矩形的長和高，進而確定其面積，通過解一元二次不等式進行求解；（2）利用基本不等式進行求解．

試題解析：（1）設DN的長為x（x＞0)米， 則AN＝（x＋2)米．

∵＝，∴AM＝，∴SAMPN＝AN·AM＝，

由SAMPN＞32，得＞32.

又x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得：0＜x＜ 或 x＞6，

即DN長的取值范圍是（0，)∪（6，＋∞)．

（2）矩形花壇AMPN的面積為y＝＝

＝3x＋＋12≥2＋12＝24，

當且僅當3x＝，即x＝2時，取得最小值24.

故DN的長為2米時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米．