Question

【題目】若函數f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在 處取得極大值，則正數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0，2）
【解析】解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）= +2ax﹣（a+2）= ，
①a≤0時，ax﹣1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故 是函數的極小值點，不合題意，
②0＜a＜2時， ＜ ，
令f′（x）＞0，解得：x＜ 或x＞ ，
令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
∴函數f（x）在 處取得極大值，符合題意，
③a=2時，f′（x）≥0，f（x）遞增，無極值，
④a＞2時， ＞ ，
令f′（x）＞0，解得：x＞ 或x＜ ，
令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
∴函數f（x）在x= 處取得極大值，不符合題意，
綜上，a∈（0，2），
所以答案是：（0，2）．
【考點精析】掌握函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．