Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，S={x||x-1|≤m}．
（1）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件，若存在，求出m的范圍；
（2）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的必要條件，若存在，求出m的范圍．

Answer 1

分析：（1）x∈P是x∈S的充要條件，表示P=S，根據集合相等的判定方法，我們可以構造一個關于m的方程組，若方程組有解，說明存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件，若方程無解，則說明不存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件；
（2）x∈P是x∈S的必要條件，表示S⊆P，利用集合包含關系，的判定方法，我們可以構造一個關于m的不等式組，解不等式組即可得到m的范圍．

解答：解：（1）由題意x∈P是x∈S的充要條件，則P=S．
由x²-8x-20≤0?-2≤x≤10，
∴P=[-2，10]．
由|x-1|≤m?1-m≤x≤1+m，∴S=[1-m，1+m]．
要使P=S，則

1-m=-2 1+m=10

∴

m=3 m=9

∴這樣的m不存在．
（2）由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S⊆P．
由|x-1|≤m，可得1-m≤x≤m+1，
要使S⊆P，則

1-m≥-2 1+m≤10

∴m≤3．
綜上，可知m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件．

點評：本題考查的知識點是二次不等式的解法、絕對值不等式的解法，及集合包含關系與充要條件之間的轉化，其中解決問題的核心是集合包含關系與充要條件之間的轉化原則，即“誰小誰充分，誰大誰必要”