Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，S={x|1-m≤x≤1+m}
（1）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件，若存在，求出m的取值范圍；
（2）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的必要條件，若存在，求出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于x∈P是x∈S的充要條件，則集合P與集合S相等；
（2）由于x∈P是x∈S的必要條件，則S⊆P．再結合集合關系求出實數m即可．

解答：解：由于P={x|x²-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}，
（1）要使x∈P是x∈S的充要條件，
則P=S，即

1-m=-2 1+m=10

，
而此方程組無解，
則不存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件；
（2）要使x∈P是x∈S的必要條件，
則S⊆P，
①當S=φ時，1-m＞1+m，即m＜0滿足題意；
②當S≠φ時，則1-m≤1+m，得m≥0，
要使S⊆P，即有

1-m≥-2 1+m≤10

，得m≤3，
即得0≤m≤3，
綜上可得，當實數m≤3時，使x∈P是x∈S的必要條件．

點評：本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據充要條件的定義進行判斷，
①若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．