Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，OB與OM之間的夾角為θ．
（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ 的函數．
（2）求當θ 為何值時，矩形ABCD的面積S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知，OM⊥AD，設OM于BC的交點為F，可得，化簡S=AB•BC的解析式為，．
（Ⅱ）根據可得當 時，S有最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點M為PQ的中點，所以OM⊥AD．
設OM于BC的交點為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ，．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=R²（sin2θ-1+cos2θ）=，．
（Ⅱ）因為，則．
所以當 ，即  時，S有最大值.．
故當 時，矩形ABCD的面積S有最大值．
點評：本題主要考查二倍角公式的應用，求三角函數的最值，屬于中檔題．