Question

【題目】雙曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為函數(shù)的圖象，關(guān)于此函數(shù)有如下四個(gè)命題：① 是奇函數(shù)；② 的圖象過(guò)點(diǎn)或；③ 的值域是；④ 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；則其中所有真命題的序號(hào)為________.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據(jù)雙曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的圖象也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即有為奇函數(shù)；根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)、漸近線方程可得旋轉(zhuǎn)后的的圖象的漸近線,再由對(duì)稱(chēng)性可得的圖象過(guò)或；根據(jù)的圖象按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)位于一三象限由圖象可得頂點(diǎn)為點(diǎn),不是極值點(diǎn),則的值域不是,也不是

；分的圖象所在的象限討論,得出的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).

解：雙曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

即有為奇函數(shù),故①對(duì)；

由雙曲線的頂點(diǎn)為,漸近線方程為,

可得的圖象的漸近線為和,

圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),

可得的圖象過(guò)或.

由對(duì)稱(chēng)性可得的圖象按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)位于—三象限；

按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)位于二四象限；故②對(duì)；

的圖象按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)位于一三象限由圖象可得頂點(diǎn)為點(diǎn)或..

不是極值點(diǎn),則的值域不是；

的圖象按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)位于二四象限,由對(duì)稱(chēng)性可得的值域也不是

,故③不對(duì)；

當(dāng)的圖象位于一三象限時(shí),的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)的圖象位于二四象限時(shí),的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)故④錯(cuò).

故真命題為：①②

故答案為：①②