Question

【題目】已知定義在實數集R的函數f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導函數f′（x）＜3，則不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（e，+∞）
C.（0，1）
D.（0，e）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設t=lnx， 則不等式f（lnx）＞3lnx+1等價為f（t）＞3t+1，
設g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
則g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的導函數f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此時函數單調遞減，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
則當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，則此時g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解為x＜1，
即f（t）＞3t+1的解為t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（0，e），
故選：D．
構造函數g（x）=f（x）﹣2x﹣1，求函數的導數，判斷函數的單調性 即可得到結論