Question

【題目】定義在（0，+∞）上的函數f（x）=a（x+ ）﹣|x﹣ |（a∈R）．
（1）當a= 時，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥ x對任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a= 時，f（x）= ，

當x≥1時，f（x）= ﹣ 的導數為f′（x）=﹣ ﹣ ＜0；

當0＜x＜1時，f（x）= ﹣ 的導數為f′（x）= + ＞0；

所以f（x）的單調遞增區間是（0，1]，單調遞減區間是[1，+∞）．

（2）解：由f（x）≥ x得a（x+ ）﹣|x﹣ |≥ x，x＞0，

可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥ x2，

①當0＜x＜1時，a（x2+1）+（x2﹣1）≥ x2，

即有a≥ ，

由 = ﹣ ∈（ ，1）

可得a≥1；

②當x≥1時，a（x2+1）﹣（x2﹣1）≥ x2，

可得a≥

由 = ﹣ ∈[ ， ）

可得a≥ ．

綜上所述，a的取值范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）求出a= 時，討論當x≥1時，當0＜x＜1時，去掉絕對值，求得導數，判斷符號，即可得到所求單調區間；（2）由f（x）≥ x可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥ x2 ， 討論當0＜x＜1時，當x≥1時，運用參數分離和函數的單調性可得最值，進而得到a的范圍．