Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。
（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。

Answer 1

(1) 數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,  
(2) 當(dāng),當(dāng)時(shí)

解析試題分析：(I)在中,令n=1,可得,即
當(dāng)時(shí),,
.
 
又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
于是.
(II)由(I)得,所以


由①-②得

于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由           可猜想當(dāng)證明如下:
證法1:(1)當(dāng)n=3時(shí),由上驗(yàn)算顯示成立。
(2)假設(shè)時(shí)
所以當(dāng)時(shí)猜想也成立
綜合(1)(2)可知 ,對(duì)一切的正整數(shù),都有
證法2:當(dāng)時(shí)

綜上所述,當(dāng),當(dāng)時(shí)
考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，數(shù)學(xué)歸納法
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能熟練的結(jié)合通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系來得到通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。屬于中檔題。