Question

已知是橢圓和雙曲線的公共頂
點(diǎn)。是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（、都異于、），且滿足，其中，設(shè)直線、、、的斜率 分別記為, ,則        

Answer 1

-5

解析試題分析：∵A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，
∴（不妨設(shè)）A（-a，0），B（a，0）．
設(shè)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，
∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化為x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都異于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化為（*）
又∵=1，∴，代入（*）化為．
k₃+k₄=，又=1，
∴，
∴k₃+k₄=-=-5．
故答案為-5．
考點(diǎn)：橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直線的斜率及其坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評(píng)：難題，熟練掌握點(diǎn)在曲線上的意義、雙曲線和橢圓的方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)本題計(jì)算能力要求較高。