Question

【題目】已知二次函數的定義域為恰是不等式的解集，其值域為，函數的定義域為，值域為.

（1）求函數定義域為和值域；

（2）是否存在負實數，使得成立？若存在，求負實數的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（3）若函數在定義域上單調遞減，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）存在；（3）

【解析】

（1）解不等式求出，結合二次函數的圖像和性質，求出；

（2）判斷單調遞增，求出，結合，可得負實數的取值范圍；

（3）根據定義法得到，根據，解得答案.

（1）解不等式得，故二次函數的定義域，

二次函數的圖象是開口朝上，且以直線為對稱軸的拋物線，

故二次函數在時，取最小值，當時，取最大值，

故二次函數的值域；

（2）函數，，故在上為增函數，

此時，，則解得：；

（3）函數在定義域上單調遞減，設，則

即，易知，故