Question

【題目】已知函數 ，函數 (a>0)，若存在 ，使得 成立，則實數 的取值范圍是(　 　)
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】∵ ，

① 當x∈[0, ]時,f(x)= 在R上是單調遞減函數，

∴f( )f(x)f(0),即0f(x) ，

∴f(x)的值域為[0, ]；

② 當x∈( ,1]時,f(x)= ，

∴f′(x)= = ，

∴當x> 時,f′(x)>0,即f(x)在( ,+∞)上單調遞增，

∴f(x)在( ,1]上單調遞增，

∴f( )<f(x)f(1),即 <f(x)1，

∴f(x)的值域為[ ,1].

綜合①②,f(x)的值域為[0,1].

∵g(x)=asin( )2a+2,(a>0),且x∈[0,1]，

∴0 x ,則0sin( x) ，

∵a>0則0asin( x) a，

∴22ag(x)2 a，

∴g(x)的值域為[22a,2 a]，

∵存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立，

∴[0,1]∩[22a,2 a]≠，

若[0,1]∩[22a,2 a]=,則2 a<0或22a>1，

∴a< 或a> ，

∴當[0,1]∩[22a,2 a]≠時,a的取值范圍為[12, ]，

∴實數a的取值范圍是[ , ].

故答案為：D.

根據x的范圍確定函數的值域和 g(x) 的值域，進而根據f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，推斷出[0,1]∩[22a,2 3 2 a]≠時,先看當二者的交集為空集時求得a的范圍，故可求得當集合的交集為非空時a的范圍。