Question

在數列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=  (n∈N*).
(Ⅰ)求a_2, a_3,  a_4;
(Ⅱ)猜想a_n，并用數學歸納法證明；
(Ⅲ)若數列b_n= ，求數列{b_n}的前n項和s_n。

Answer 1

（Ⅰ）∴a₂=  = ,a₃ =  = ,a₄ ==.(Ⅱ)略
（Ⅲ）s_n=b₁+b₂+…+b_n=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=

本試題主要是考查了運用遞推關系求解數列的前幾項，然后根據前幾項的特點分析得到數列的通項公式，進而利用數列的歸納猜想思想，和數學歸納法的得到證明，并對于新數列求解和的問題。
（1）首先由a₁=1,a_n+1=,，對n賦值依次得到第二項和第三項以及第四項。
（2）歸納猜想其通項公式，并運用數學歸納法加以證明，
（3）由（Ⅱ）知：b_n===2[-]，然后裂項求和得到結論。