Question

【題目】已知數集，其中，且，若對，與兩數中至少有一個屬于，則稱數集具有性質.

（1）分別判斷數集與數集是否具有性質，說明理由；

（2）已知數集具有性質，判斷數列，，…，是否為等差數列，若是等差數列，請證明；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）數集不具有性質，數集具有性質，理由見解析；（2）是等差數列，證明見解析

【解析】

(1)根據性質的定義逐個求差判斷即可.

(2)根據性質的定義可先判斷出,再判斷可得,繼而得到即可證明數列,,…,為等差數列.

解：（1）由于和都不屬于集合,

所以該集合不具有性質；

由于、、、、、、、、、都屬于集合,

所以該數集具有性質.

（2）∵具有性質,所以與中至少有一個屬于,

由,有,故,∴,故.

∵,∴,故.

由具有性質知,,

又∵,

∴,,…,,,

即①,

由知,,,…,均不屬于,

由具有性質,,,…,均屬于,

∴,而,

∴,,,…,即②,

由①②可知,

即.

故,,…,構成等差數列.