Question

已知常數m＞0，向量=（0，1），向量=（m，0），經過點A（m，0），以為方向向量的直線與經過點B（-m，0），以為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R．
（1）求點P的軌跡E；
（2）若m=2，F（4，0），問是否存在實數k使得以Q（k，0）為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點，并且|MF|+|NF|=3．若存在求出k的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）∵λ+=（ m，λ），
∴直線AP方程為 ①
又λ-4=（λm，-4），∴直線NP方程為 ②
由①、②消去λ得 ，即 ．
故當m=2時，軌跡E是以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓：x²+y²=4；
當m＞2時，軌跡E是以原點為中心，以為焦點的橢圓：
當0＜m＜2時，軌跡E是以中心為原點，焦點為的橢圓．
（2）假設存在實數k滿足要求，此時有圓Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；
橢圓E：；其右焦點為F（4，0 ），且e=．
由圓Q與橢圓E的方程聯立得2y²-5kx+20k-30=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 ③
△=25k²-4×2（20k-30），
又|MF|=，|NF|=，而|MF|+|NF|=3；
∴，
由此可得 ④
由③、④得k=1，且此時△＞0．故存在實數k=1滿足要求．
分析：（1）由λ+=（m，λ），知直線AP方程為．由λ-4=（λm，-4），知直線NP方程為；所以，由此結合m的取值情況能夠求出點P的軌跡E．
（2）假設存在實數k滿足要求，此時有圓Q：（x-k）²+y²=（4-k）²；橢圓E：；其右焦點為F（4，0 ），且e=．由圓Q與橢圓E的方程聯立得2y²-5kx+20k-30=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則．△=25k²-4×2（20k-30），由此能求出存在實數k=1滿足要求．
點評：本題考查軌跡方程的求法和判斷k是否存在．解題時要注意分類討論思想和圓錐曲線性質的靈活運用．