Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB， 為棱PC上一點(diǎn).

(Ⅰ)若點(diǎn)是PC的中點(diǎn)，證明：B∥平面PAD；

(Ⅱ) 試確定的值使得二面角-BD-P為60°.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線(xiàn)定理結(jié)合可得題設(shè)條件可得四邊形是平行四邊形， ，由線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ） 兩兩垂直，以 為原點(diǎn)所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可證明平面， 是平面 的法向量，利用向量垂直數(shù)量積為零，用表示出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可.

試題解析：(Ⅰ)取PD的中點(diǎn)M，連接AM，M，

，

M∥CD，

又AB∥CD， ∥AB，QM＝AB，

則四邊形ABQM是平行四邊形. ∥AM.

又平面PAD，BQ平面PAD， ∥平面PAD.

（Ⅱ）解：由題意可得DA，DC，DP兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).

令

又易證BC⊥平面PBD，

設(shè)平面QBD的法向量為

令

，

解得

Q在棱PC上，