Question

函數(shù)f（x）=2^x-2^-x（x∈R）．
（1）證明函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）證明：在定義域R中任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（2x1-2-x2）-（2x2-2-x2）=2x1-2x2+

1

2x2

-

1

2x1

=（2x1-2x2）（1+

1

2x1+x2

）；
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，1+

1

2x1+x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
∵f（x）=2^x-2^-x，
∴f（-x）=2^-x-2^x=-f（x）；
∴f（x）是R上的奇函數(shù)．