Question

請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分．
1（1）．（幾何證明選講選做題）如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，
延長AB和DC相交于點P，若，則的值為    ．
（2）．（坐標系與參數方程選做題） 極坐標系中，A為曲線ρ²+2ρcosθ-3=0上
的動點，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的動點，則|AB|距離的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，知∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，故△PBC∽△PDA，設PB=x，PC=y，由，得PA=2x，PD=3y，由此能求出．
（2）曲線ρ²+2ρcosθ-3=0是圓心為（-1，0），半徑為r==2的圓，直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程為x+y-7=0，由此利用點到直線的距離公式能求出|AB|距離的最小值．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P，
∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，
∴△PBC∽△PDA，
設PB=x，PC=y，
∵，
∴PA=2x，PD=3y，
由△PBC∽△PDA，得=，
∴，解得y=，
∴===．
故答案為：．
（2）∵曲線ρ²+2ρcosθ-3=0的普通方程為x²+y²+2x-3=0，
∴曲線是圓心為（-1，0），半徑為r==2的圓，
∵直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程為x+y-7=0，
∴圓心為（-1，0）到直線的距離d==4，
∴|AB|距離的最小值為4．
故答案為：4．
點評：第（1）考查圓的內接四邊形的性質及其應用，第（2）題考查圓和直線的極坐標方程的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．