Question

在數列{a_n}中，已知a₁+a₂=5，當n為奇數時，a_n+1-a_n=1，當n為偶數時，a_n+1-a_n=3，則下列的說法中：
①a₁=2，a₂=3；  
②{a_2n-1}為等差數列； 
③{a_2n}為等比數列；    
④當n為奇數時，a_n=2n；當n為偶數時，a_n=2n-1．
正確的為

①②④

．

Answer 1

分析：結合題意，分別由等差數列和等比數列的定義驗證可得．

解答：解：由題意可得a₂-a₁=1，結合a₁+a₂=5解之可得a₁=2，a₂=3，故①正確；
由于2n-1為奇數，代入已知可得a_2n-a_2n-1=1，（A）
2n為偶數，同理可得a_2n+1-a_2n=3，（B）
A，B兩式相加可得a_2n+1-a_2n-1=4，
故可得{a_2n-1}為公差為4的等差數列，故②正確；
由②可知a_2n-1=2+4（n-1）=4n-2=2（2n-1），故a_2n+1=2（2n+1），
A，B兩式相減可得a_2n+1+a_2n-1-2a_2n=2，
故可得a_2n=4n-1=2×2n-1，故{a_2n}為等差數列，故③錯誤；
由③可得a_2n-1=2（2n-1），a_2n=2×2n-1，
故當n為奇數時，a_n=2n；當n為偶數時，a_n=2n-1，故④正確．
故答案為：①②④

點評：本題考查等差數列和等比數列的確定，屬中檔題．