Question

【題目】已知平面向量 ， （ ≠ ）滿足 =2，且 與 ﹣ 的夾角為120° ， t∈R，則|（1﹣t） +t |的最小值是 ． 已知 =0，向量 滿足（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，| ﹣ |=5，| ﹣ |=3，則 的最大值為 ．

Answer 1

【答案】；18
【解析】解：①∵平面向量 滿足| |=2，且 與 ﹣ 的夾角為120°，
故當t（ ﹣ ）滿足t| ﹣ |= 時，|（1﹣t） +t |（t∈R）取最小值，
此時由向量加法的三角形法則可得|（1﹣t） + |（t∈R）的最小值是 ；
②由 =0，建立如圖所示的直角坐標系；
可設 =（m，0）， =（0，n）， =（x，y），
∵| ﹣ |=5，
∴m2+n2=25，記此圓為⊙M；
∵向量 滿足（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，
∴x2+y2﹣mx﹣ny=0，
化為 + = ，
說明點C在⊙M上；
∴| |=| ﹣ |=3，
∴| |=| ﹣ |=4，
過點C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D，E；
設∠CBD=θ，則∠OAC=θ，
則x=4sinθ=m﹣3cosθ，
∵ =mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin2θ+12sinθcosθ
=8（1﹣cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ﹣φ）+8≤18；
∴ 的最大值為18．
所以答案是： ，18．