Question

設平面直角坐標系中，設二次函數的圖像與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為。求：

（1）求實數的取值范圍。

（2）求圓的方程。

（3）問圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論。

Answer 1

解：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；

令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）設所求圓的一般方程為

令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝b1．

所以圓C 的方程為.

（Ⅲ）圓C 必過定點（0，1）和（－2，1）．

證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，

所以圓C 必過定點（0，1）．

同理可證圓C 必過定點（－2，1）．