Question

設數列{a_n}的前n項和為Sn，如果

sn

s2n

為常數，則稱數列{a_n}為“科比數列”．
（1）等差數列{b_n}的首項為1，公差不為零，若{b_n}是“科比數列”，求{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}的各項都是正數，前n項和為S_n，若C₁³+C₂³+C₃³+…C_n³=S_n²對任意n∈N^*都成立，試推斷數列{c_n}是否為“科比數列”？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{b_n}的公差為d（d≠0），

Sn

S2n

=k，因為b₁=1，所以（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因為對任意正整數n上式恒成立，則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）由已知，當n=1時，c₁³=S₁²=c₁²．因為c₁＞0，所以c₁=1．當n≥2時，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n-1³=S_n-1²．所以c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．由此能推導出數列{c_n}是首項為1，公差為1的等差數列．從而得到數列{c_n}不是“科比數列”．

解答：解：（1）設等差數列{b_n}的公差為d（d≠0），

Sn

S2n

=k，因為b₁=1，
則n+

1

2

n(n-1)d=k[2n+

1

2

•2n(2n-1)d]，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．…（4分）
因為對任意正整數n上式恒成立，
則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，
解得

d=2 k= 1 4

．　…（6分）
故數列{b_n}的通項公式是b_n=2n-1．…（7分）
（2）由已知，當n=1時，c₁³=S₁²=c₁²．
因為c₁＞0，所以c₁=1．  …（8分）
當n≥2時，c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²，
c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n-1³=S_n-1²．   
兩式相減，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因為c_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．…（10分）
顯然c₁=1適合上式，
所以當n≥2時，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1
=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因為c_n+c_n-1＞0，則c_n-c_n-1=1，
所以數列{c_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
所以

Sn

S2n

=

n(n+1)

2n(2n+1)

=

n+1

4n+2

不為常數，
故數列{c_n}不是“科比數列”． …（14分）

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，計算繁瑣易出錯．解題時要細心，注意培養計算能力．