Question

【題目】設f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函數y=f（x）有兩個零點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明： 隨著a的減小而增大；
（3）證明x1+x2隨著a的減小而增大．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；

下面分兩種情況討論：

①a≤0時，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函數，不合題意；

②a＞0時，由f′（x）=0，得x=﹣lna，當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣lna）	﹣lna	（﹣lna，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	遞增	極大值﹣lna﹣1	遞減

∴f（x）的單調增區間是（﹣∞，﹣lna），減區間是（﹣lna，+∞）；

∴函數y=f（x）有兩個零點等價于如下條件同時成立：

①f（﹣lna）＞0；

②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），滿足f（s1）＜0；

③存在s2∈（﹣lna，+∞），滿足f（s2）＜0；

由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；

取s1=0，滿足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，

取s2= +ln ，滿足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（ ﹣ ）+（ln ﹣ ）＜0；

∴a的取值范圍是（0，e﹣1）．

（2）證明：由f（x）=x﹣aex=0，得a= ，

設g（x）= ，由g′（x）= ，得g（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

并且當x∈（﹣∞，0）時，g（x）≤0，當x∈（0，+∞）時，g（x）≥0，

x1、x2滿足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的單調性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；

對于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），設a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；

g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；

∵g（x）在（0，1）上是增函數，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；類似可得X2＜Y2；

又由X、Y＞0，得 ＜ ＜ ；∴ 隨著a的減小而增大；

（3）證明：∵x1=a ，x2=a ，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；

∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，設 =t，則t＞1，

∴ ，解得x1= ，x2= ，

∴x1+x2= …①；

令h（x）= ，x∈（1，+∞），則h′（x）= ；

令u（x）=﹣2lnx+x﹣ ，得u′（x）= ，當x∈（1，+∞）時，u′（x）＞0，

∴u（x）在（1，+∞）上是增函數，∴對任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，

∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函數；

∴由①得x1+x2隨著t的增大而增大．

由（2）知，t隨著a的減小而增大，

∴x1+x2隨著a的減小而增大．

【解析】（1）對f（x）求導，討論f′（x）的正負以及對應f（x）的單調性，得出函數y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；（2）由f（x）=0，得a= ，設g（x）= ，判定g（x）的單調性即得證；（Ⅲ）由于x1=a ，x2=a ，則x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，令 =t，整理得到x1+x2= ，令h（x）= ，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函數，故得到x1+x2隨著t的減小而增大．再由（2）知，t隨著a的減小而增大，即得證．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．