Question

已知數列{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）令b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，列出關于等比數列的首項與公比的方程組，求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出通項．
（2）由于b_n是有一等差數列與等比數列的積構成的數列，利用錯位相減的方法求出前n項和．

解答：解：（1）

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4)=6a2

解得a₁=1，q=2
∴a_n=2^n-1
（2）T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ
兩市相減得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1

點評：求數列的前n項和，一般先求出通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．