Question

如圖,在四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中點.

(1)求證:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直線SA與平面BED所成角的大小.

Answer 1

(1)見解析   (2)

(1)∵SD⊥平面ABCD,SD?平面SAD,
∴平面SAD⊥平面ABCD;
又∵AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,∴DE⊥AB,
∵SD=AD,E是SA的中點,∴DE⊥SA.
∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB.
又DE?平面BED,
∴平面BED⊥平面SAB.
(2)以D為原點,以DA,DC,DS分別為坐標軸建立空間直角坐標系Dzyz,不妨設AD=2,
則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,,0),
C(0,,0),S(0,0,2),E(1,0,1).
=(2,,0),=(1,0,1),
設m=(x₁,y₁,z₁)是平面BED的一個法向量,
則 
即
因此可取m=(-1,,1).
又=(2,0,-2),
設直線SA與平面BED所成的角為θ,
則sinθ==⇒θ=,
即直線SA與平面BED所成的角為.