Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，過的直線與交于，兩點，點的坐標為．當軸時，的面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線、的斜率分別為、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知條件得b2＝a2﹣1，利用通徑公式得出|AB|的表達式，再由△ABM的面積得出有關a的方程，求出a的值，可得出橢圓C的標準方程；

（2）對直線l與x軸垂直、與y軸垂直以及與斜率存在且不為零三種情況討論．在前兩種情況下可直接進行驗證；在第三種情況下，設直線l的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），將直線l的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用斜率公式并代入韋達定理，通過化簡計算得出結論成立．

（1）依題意得，即，

所以當時，解得，當軸時，，

因為，所以，解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）當與軸重合時，，滿足條件；當與軸垂直時，滿足條件，

當與軸不重合且不垂直時，設為，，，

把代入，得，

則，，

因為 ，

而，

所以.