Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值為8，函數g（x）是h（x）=ex的反函數．
（1）求函數g（f（x））的單調區間；
（2）求證：函數y=f（x）h（x）﹣ （x＞0）恰有一個零點x0 ， 且g（x0）＜x02h（x0）﹣1 （參考數據：e=2.71828…，ln2≈0.693）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數g（x）是h（x）=ex的反函數，

可得g（x）=lnx；

函數f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值為8，

只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，

即有1﹣a=8或4+2a=8，

解得a=2（﹣7舍去），

函數g（f（x））=ln（x2+2x），

由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．

由復合函數的單調性，可得

函數g（f（x））的單調增區間為（0，+∞）；

單調減區間為（﹣∞，﹣2）；

（2）證明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣ ，（x＞0），

設0＜x1＜x2，則x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴ ＜0，

∵f（x）在（0，+∞）遞增且f（x）＞0，

∴f（x2）＞f（x1）＞0，

∵ ＞ ＞0，∴f（x1） ＜f（x2） ，

∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1） ﹣f（x2） + ＜0，

即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）遞增；

∵φ（ ）= ﹣2＞ ﹣2=0，

φ（ ）= ﹣e＜ ﹣e＜0，

即φ（ ）φ（ ）＜0，

∴函數y=f（x）h（x）﹣ （x＞0）恰有1個零點x0，且x0∈（ ， ），

∴（ +2x0） ﹣ =0，即 = ，

∴ h（x0）﹣g（x0）= ﹣lnx0= ﹣lnx0，

∵y= ﹣lnx在（0， ）上是減函數，

∴ ﹣lnx0＞ ﹣ln = +ln2＞ +0.6=1，

即g（x0）＜ h（x0）﹣1，

綜上，函數y=f（x）h（x）﹣ （x＞0）恰有一個零點x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．

【解析】（1）求出g（x）的解析式以及a的值，從而求出g（f（x））的解析式，求出函數 的單調區間即可；（2）令φ（x）=f（x）h（x）﹣ ，（x＞0），根據函數的單調性得到φ（x）在（0，+∞）遞增；從而證出結論．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．