Question

【題目】設命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數x滿足 ≤0。
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解 得：2＜x≤3；

∴命題p：實數x滿足1＜x＜3，命題q：實數x滿足2＜x≤3；

∵p∧q為真，∴p真，q真，∴x應滿足 ，解得2＜x＜3，即x的取值范圍為（2，3）

（2）解：￢q為：實數x滿足x≤2，或x＞3；￢p為：實數x滿足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；

￢p是￢q的充分不必要條件，所以a應滿足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；

∴a的取值范圍為：（1，2]

【解析】（1）由a=1得到命題p下的不等式，并解出該不等式，解出命題q下的不等式，根據p∧q為真，得到p真q真，從而求出x的取值范圍；（2）先求出￢p，￢q，根據￢p是￢q的充分不必要條件，即可求出a的取值范圍．