Question

【題目】函數且

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）定義在R上的函數滿足，當時，。若存在滿足不等式且是函數的一個零點，求實數a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將代入，求其導函數，得的值，進而可得切線方程。

（2）構造函數，根據已知得到其是奇函數，求導可得在上的單調性，將轉化為關于的不等式，利用的單調性解該不等式，可求得的范圍，即的零點的范圍，轉化為在的范圍上有零點，利用導數知識和零點存在性定理，可求出a的取值范圍。

解：（1）當時，因為

所以，

所以，

又，所以函數在點處的切線方程為，

即

（2）令，因為，

所以，

所以為奇函數。

當時，，

所以在上單調遞減，

所以在R上單調遞減，

又滿足不等式，即，

所以，

化簡得，所以，即

令

因為是函數的一個零點，

所以在時有一個零點：

當時，，

所以在上單調遞減，

又，又因為，

所以要使在時有一個零點，只需，解得，

所以實數a的取值范圍為