Question

（2011•上海模擬）設(shè)

a

，

b

，

c

是平面內(nèi)互不平行的三個(gè)向量，x∈R，有下列命題：
①方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；
②方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)有實(shí)數(shù)解的充要條件是

b

2-4

a

•

c

≥0；
③方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0有唯一的實(shí)數(shù)解x=-

b

a

；
④方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
其中真命題有

①④

．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①、②，是關(guān)于向量的方程，將方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)變形可得

C

=-x²

a

-x

b

，由向量共線(xiàn)的條件分析①，也不能按照實(shí)數(shù)方程有解的條件來(lái)判斷，對(duì)于③、④，是實(shí)系數(shù)方程，利用一元二次方程的根的判別式和數(shù)量積的性質(zhì)，對(duì)題設(shè)中的四個(gè)選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷，能夠得到結(jié)果．

解答：解：對(duì)于①：
對(duì)方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)變形可得

C

=-x²

a

-x

b

，
由平面向量基本定理分析可得

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)最多有一解，
故①正確；
對(duì)于②：
方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)是關(guān)于向量的方程，不能按實(shí)數(shù)方程有解的條件來(lái)判斷，
故②正確；
對(duì)于③、④，方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0中，
△=4

a

•

b

²-4

a

2•

b

2，
又由

a

、

b

不平行，必有△＜0，
則方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
故③不正確而④正確
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意一元二次方程的根的判別式和數(shù)量積的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．