Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，并且經過點.（1）求橢圓的標準方程；

（2）若斜率為的直線經過點，且與橢圓交于不同的兩點,求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）由橢圓的兩個焦點坐標分別是，即橢圓的焦半徑，并且經過點，所以根據橢圓的定義求得橢圓的長半軸，再根據即可求出橢圓的短半軸的值.從而得到橢圓的標準方程.

（2）假設過點的直線，聯立方程，韋達定理以及弦長公式表示出弦長.再用點到直線的距離，即可得到高.再通過換元求得最值.

試題解析：（1）設橢圓的標準方程為，有橢圓的定義可得

又

故橢圓的標準方程為

（2）設直線的方程為，

由得，依題意，

設，

則，

，

由點到直線的距離公式得，

設

，

當且僅當時，上式取等號，

所以，面積的最大值為1