Question

【題目】已知數列與滿足：，且為正項等比數列，，.

（1）求數列與的通項公式；

（2）若數列滿足，為數列的前項和，證明：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①，n≥2時，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②，①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），{an}公比為q，求出an，然后求解bn；（2）化簡（n∈N*），利用裂項消項法求解數列的和即可．

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①

n≥2時，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②

①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），

∴a3＝2（b3﹣b2）＝8

∵a1＝2，an＞0，設{an}公比為q，

∴a1q2＝8，∴q＝2

∴an＝2×2n﹣1＝2n

∴，

∴bn＝2n﹣1．

（2）證明：由已知：．

∴