Question

（2012•揚州模擬）如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且

D1E

=λ•

EO

．
（Ⅰ）求證：DB₁⊥平面CD₁O；
（Ⅱ）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）設正方體棱長為1，以DA，DC，DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系，分別求出D、B₁、O、C、D₁的坐標，從而得到向量

DB1

、

CD1

和

OC

的坐標，通過計算得到

DB1

與

CD1

、

DB1

與

OC

的數量積均為零，得到DB₁與CD₁、OC都垂直，結合線面垂直的判定定理，可證出DB₁⊥平面CD₁O；
（II）設平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，利用垂直的兩個向量數量積為零的方法列出方程組，取x=-2，得z=λ，得

n

=(-2，0，λ)，結合平面CDE的法向量為

m

=(1，1，1)，所以

m

•

n

=0，可得到λ的值．

解答：解：（Ⅰ）不妨設正方體的棱長為1，以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則可得D(0，0，0)，B1(1，1，1)，O(

1

2

，

1

2

，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)
于是：

DB1

=(1，1，1)，

CD1

=(0，-1，1)，

OC

=(-

1

2

，

1

2

，0)
∵

DB1

•

CD1

=1×0+1×(-1)+1×1=0，

DB1

•

OC

=1×(-

1

2

)+1×

1

2

+1×0=0
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC，
∵CD₁，OC為平面CD₁O內兩條相交直線，
∴DB₁⊥平面CD₁O
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面CD₁O的法向量取

m

=

DB1

=(1，1，1)
∵

D1E

=λ•

EO

，∴E(

λ

2(1+λ)

，

λ

2(1+λ)

，

1

1+λ

)
又設平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n

•

CD

=0，

n

•

DE

=0
得

y=0 λx 2(1+λ) + λy 2(1+λ) + z 1+λ =0

，
取x=-2，得z=λ，即

n

=(-2，0，λ)
∵平面CDE⊥平面CD₁O，
∴

m

•

n

=0，即1×（-2）+1×0+1×λ=0，可得λ=2

點評：本題在正方體中研究線面垂直和面面垂直的問題，著重考查了平面與平面垂直的性質、直線與平面垂直的判定和利用空間坐標系研究空間的垂直問題等知識點，屬于基礎題．