Question

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；
（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)可得，由，可得得或，而在處有極大值，從而可得a；（2）假設(shè)存在，即存在x∈(?1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(?1，)，及a＞0，可得x-a＜0，則存在x∈(?1，)，使得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）據(jù)題意有f（x）-1=0有3個不同的實(shí)根，g（x）-1=0有2個不同的實(shí)根，且這5個實(shí)根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個不同的實(shí)根，只需滿足⇒a＞1或a＜?3；有3個不同的實(shí)根，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.
試題解析：（Ⅰ），則，
令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或．               （3分）
（Ⅱ）假設(shè)存在，即存在，使得
，
當(dāng)時，又，故，則存在，使得， （4分）
當(dāng)即時，得，；      （5分）
當(dāng)即時，得，  （6分）
無解；綜上：．                                   （7分）
（Ⅲ）據(jù)題意有有3個不同的實(shí)根，有2個不同的實(shí)根，且這5個實(shí)根兩兩不相等．
（ⅰ）有2個不同的實(shí)根，只需滿足；   （8分）
（ⅱ）有3個不同的實(shí)根，
當(dāng)即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；    （9分）
當(dāng)即時，不符合題意，舍；
當(dāng)即時，在處取得極大值，；所以；  （10分）
因?yàn)椋á。�（ⅱ）要同時滿足，故；（注：也對）      （11分）
下證：這5個實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時成立；
若存在使得，
由，即，得，
當(dāng)時，，不符合，舍去；
當(dāng)時，既有  ①；
又由，即 ②；   聯(lián)立①②式，可得；
而當(dāng)時，沒有5個不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個實(shí)根兩兩不相等．
綜上，當(dāng)時，函數(shù)有5個不同的零點(diǎn)．          （14分）