Question

【題目】經過多年的運作，“雙十一”搶購活動已經演變成為整個電商行業的大型集體促銷盛宴．為迎接2018年“雙十一”網購狂歡節，某廠家擬投入適當的廣告費，對網上所售產品進行促銷．經調查測算，該促銷產品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足（其中，a為正常數）．已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），每一件產品的銷售價格定為元，假定廠家的生產能力完全能滿足市場的銷售需求．

（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤的值．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）當時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大，為萬元；當時，促銷費用投入萬元,廠家的利潤最大，為萬元.

【解析】

（1）根據產品的利潤銷售額產品的成本建立函數關系；

（2）利用導數可求出該函數的最值．

（1）由題意知，，

將代入化簡得：（）；

（2），

（ⅰ）當時，

①當時，，所以函數在上單調遞增，

②當時，，所以函數在上單調遞減，

從而促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大；

（ⅱ）當時，因為函數在上單調遞增，

所以在上單調遞增，故當時，函數有最大值，

即促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大.

綜上，當時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大，為萬元；

當時，促銷費用投入萬元，廠家的利潤最大，為萬元.