【題目】如圖，港口
在港口
的正東120海里處，小島
在港口的北偏東
的方向，且在港口北偏西
的方向上，一艘科學考察船從港口出發，沿北偏東的
方向以20海里/小時的速度駛離港口.一艘給養快艇從港口以60海里/小時的速度駛向小島，在島轉運補給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時出發，補給裝船時間為1小時.
（1）求給養快艇從港口到小島的航行時間；
（2）給養快艇駛離港口后，最少經過多少小時能和科考船相遇？
【答案】（1）快艇從港口
到小島
的航行時間為
小時（2）給養快艇駛離港口后，最少經過3小時能和科考船相遇
【解析】
（1）給養快艇從港口到小島的航行時間，已知其速度，則只要求得
的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間．
（2）由（1）知，給養快艇從港口駛離2小時后，從小島出發與科考船匯合，根據題意確定各邊長和各角的值，然后由余弦定理解決問題．
（1）由題意知，在
中，
，
，
，
所以
，
于是
，
而快艇的速度為
海里/小時，
所以快艇從港口到小島的航行時間為
小時.
（2）由（1）知，給養快艇從港口駛離2小時后，從小島出發與科考船匯合.為使航行的時間最少，快艇從小島駛離后必須按直線方向航行，
設給養快艇駛離港口
小時后恰與科考船在
處相遇.
在中，
，
而在
中，
，
，
，
由余弦定理，得
，
即
，
化簡，得
，
解得
或
（舍去）.
故
.
即給養快艇駛離港口后，最少經過3小時能和科考船相遇.
新思維寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在棱長為
的正方體
中，
，
分別是
和
的中點．
（
）求異面直線
與
所成角的余弦值．
（）在棱
上是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
的焦點為
，點
為上異于頂點的任意一點，過的直線
交于另一點
，交
軸正半軸于點
，且有
，當點的橫坐標為3時，
為正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直線
，且
和相切于點
，試問直線
是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下四個命題：
①“若
，則
”的逆否命題為真命題
②“
”是“函數
在區間
上為增函數”的充分不必要條件
③若
為假命題，則
，
均為假命題
④對于命題：
，
，則
為：
，
其中真命題的個數是（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的左、右頂點分別為A，B，離心率為
，點P（1，
）為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值．
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