Question

（2012•懷化二模）已知函數?（x）=

a

x

，a為常數，且a＞0
（1）若f（x）=ln（x-1）+?（x），且a=6，求函數f（x）的單調區間；
（2）若g（x）=|ln（x-1）|+?（x），且對任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定f（x）的定義域為（1，+∞），求出導函數，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調增區間，從而可得函數單調減區間；
（2）根據對任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜0，可得g（x）在（1，3]是減函數，再分x∈（1，2]，x∈[2，3]，分類討論，同時利用分離參數法，即可確定a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（1，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

a

x2

，
∵a=6，∴f′(x)=

1

x-1

-

6

x2

令f′（x）＞0，可得

1

x-1

-

6

x2

＞0，∴x＜3-

3

或x＞3+

3

令f′（x）＜0，可得

1

x-1

-

6

x2

＜0，∴3-

3

＜x＜3+

3

所以f（x）的單調增區間為(1，3-

3

]和[3+

3

，+∞)，減區間為[3-

3

，3+

3

]-----（6分）
（2）∵對任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜0，
∴g（x）在（1，3]是減函數
當x∈（1，2]時，g(x)=-ln(x-1)+

a

x

，g′(x)=-

1

x-1

-

a

x2

，由題意g'（x）≤0恒成立
所以-

1

x-1

-

a

x2

≤0，所以a≥-

x2

x-1

令y=-

x2

x-1

，y′=-

2x(x-1)-x2

(x-1)2

=-

x(x-2)

(x-1)2

，則y'＞0恒成立，所以函數在（1，2]上單調遞增，
所以y的最大值為-4，所以a＞0------------------------------------（9分）
當x∈[2，3]時，g(x)=ln(x-1)+

a

x

，g′(x)=

1

x-1

-

a

x2

，由題意g'（x）≤0恒成立
所以

1

x-1

-

a

x2

≤0，所以a≥

x2

x-1

令y=

x2

x-1

，y′=

2x(x-1)-x2

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，則y'＞0恒成立，所以函數在[2，3]上單調遞增，
所以y的最大值為

9

2

，所以a≥

9

2

------------------------------------（9分）
綜上所述，a的取值范圍是[

9

2

，+∞)------------------------------------（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是分離參數，構建函數，利用導數求解．