Question

【題目】已知冪函數在上是增函數，且在定義域上是偶函數.

（1）求p的值，并寫出相應的函數的解析式.

（2）對于（1）中求得的函數，設函數，問是否存在實數，使得在區間上是減函數，且在區間上是增函數？若存在，請求出q；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當或時，；當時，；（2）存在，.

【解析】

（1）由冪函數的單調性確定參數的可能取值，再由偶函數的性質確定的值．

（2）把作為一個整體，時，，時，.結合二次函數的單調性可得值．

（1）由于已知在上是增函數，因而，解得.

又，因而或1或2.

當或時，，不是偶函數；

當時，，符合題意.

（2）存在.理由如下：

由（1）知.

由于，因而當時，，

此時，函數單調遞減，而函數在上單調遞減，

則外層函數在上單調遞增；

當時，，

此時，函數單調遞增，而函數在上單調遞減，

則外層函數在上單調遞減.

所以，即.

所以存在滿足題設條件.