Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點A ，離心率為 ，點F1 ， F2分別為其左右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點P，Q，且 ？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得： ，得b=c，因為 ，

得c=1，所以a2=2，

所以橢圓C方程為

（2）解：假設滿足條件的圓存在，其方程為：x2+y2=r2（0＜r＜1）

當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，

由 得（1+2k2）x2+4bkx+2b2﹣2=0，

令P（x1，y1），Q（x2，y2），

，

∵ ，∴x1x2+y1y2=0．

∴ ，

∴3b2=2k2+2

因為直線PQ與圓相切，∴ =

所以存在圓

當直線PQ的斜率不存在時，也適合x2+y2= ．

綜上所述，存在圓心在原點的圓x2+y2= 滿足題意

【解析】（1）由離心率，推出b=c，利用橢圓經過的點的坐標，代入橢圓方程，求出a、b，即可得到橢圓C方程．（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為：x2+y2=r2（0＜r＜1），當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，聯立方程組，令P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用韋達定理，結合x1x2+y1y2=0．推出3b2=2k2+2，利用直線PQ與圓相切，求出圓的半徑，得到圓的方程，判斷當直線PQ的斜率不存在時的圓的方程，即可得到結果．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．