Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，弦AB經(jīng)過F₂點(diǎn)，若A點(diǎn)在x軸的下方，且|AF₂|=2|F₂B|，

AF1

•

BF1

=

16

9

a²，則∠F₁AB=（　　）

• A、

  5π

  12

• B、

  π

  2

• C、

  2π

  3

• D、

  4π

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用向量的數(shù)量積，余弦定理可解出t，再根據(jù)勾股定理即可求出∠F₁AB．

解答： 解：設(shè)BF₂=t，AF₂=2t，
有AF₁=2a-2t，BF₁=2a-t，
∵

AF1

•

BF1

=（2a-t）（2a-2t）cos∠BF₁A=

16

9

a^{2 ①
而cos}∠BF₁A=

BF 2 1 + AF 2 1 -AB2

2BF1•AF1

=

(2a-t)2+(2a-2t)2-9t2

2(2a-t)(2a-2t)

②，
由①②得t=

1

3

a或t=-

10

3

a(舍)，
∴AB=3t=a=

3

3

a，AF1=

4

3

a，BF1=

5

3

a，
可知AB2+A

F

2 1

=B

F

2 1

，
得∠F1AB=

π

2

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算以及橢圓的簡單性質(zhì)，屬于中檔題．