Question

已知點P（x，y）滿足條件

x- y-2≤0 x+ 2y-5≥0 y-2≤0

，點A（2，1），則|

OP

|•cos∠AOP的最大值為（　�。�

• A．

  4

  5

  5

• B．

  7

  5

  5

• C．

  9

  5

  5

• D．2

  5

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，利用向量的數量積將|

OP

|•cos∠AOP轉化成

1

5

（2x+y），設z=

1

5

（2x+y），再利用z的幾何意義求最值．

解答：解：在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP •| OA cos∠AOP||

| OA |

=

OP • OA

| OA |

=

(2，1)•(x，y)

5

=

2x+y

5

，
令 z=

1

5

（2x+y），則y=-2x+

5

z，
平移直線y=-2x+

5

z，
由圖形可知，當直線經過可行域中的點B時，直線y=-2x+

5

z的截距最大，此時z取到最大值，
由

x-y-2=0 y=2

，解得x=4，y=2，
即B（4，2），代入z=

1

5

（2x+y），
得z=

1

5

（2×4+2）=

10

5

=2

5

．
所以|

OP

|•cos∠AOP的最大值為2

5

．
故選D．

點評：本題主要考查了向量的數量積、簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．